2025年10月济南市高一年级学情检测 数学试题
发布于
2025年10月济南市高一年级学情检测 数学试题
绝密★启用并使用完毕前
注意事项：
- 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
- 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
- 非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
- 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一、选择题：本大题共 16 小题，每小题 5 分，共 80 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
- 若集合 A = \{-2, 2\}，则下列结论错误的是
A. 2 \in A
B. \{-2\} \subseteq A
C. \varnothing \subseteq A
D. \{-2, 2\} \in A - 已知集合 A = \{x \mid -1 \leqslant x < 3\}, B = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}，则 A \cap B =
A. \{x \mid 1 < x < 2\}
B. \{x \mid -2 < x < -1\}
C. \{1, 2\}
D. \{-2, -1\} - 命题“\forall x > 3, x^2 - 1 > 0”的否定形式是
A. \forall x \leqslant 3, x^2 - 1 \leqslant 0
B. \forall x > 3, x^2 - 1 \leqslant 0
C. \exists x > 3, x^2 - 1 \leqslant 0
D. \exists x \leqslant 3, x^2 - 1 \leqslant 0 - 已知实数 a, b, c，则“a < b”是“ac^2 < bc^2”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 - 已知正实数 a, b 满足 a + b = 4，则 \frac{1}{a} + \frac{1}{b} 的最小值为
A. 1
B. 2
C. 2\sqrt{2}
D. 4 - 已知全集 U = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2.5 < x < 4\}，集合 A = \{-2, 1, 3\}，则 \complement_U A 的真子集个数为
A. 7
B. 8
C. 15
D. 16 - 设全集 U = \mathbb{N}^*，集合 A = \{x \in \mathbb{N}^* \mid \frac{6}{x} < 2\}，则 \complement_U A =
A. \{x \in \mathbb{N}^* \mid x \leqslant 3\}
B. \{4, 5, 6\}
C. \{x \in \mathbb{N}^* \mid x > 3\}
D. \{1, 2\} - 已知集合 A = \{1, |a - 1|, a\}，且 2 \in A，则实数 a 的取值为
A. -1
B. 3
C. 2 或 3
D. -1 或 3 - \sqrt{2x(4 - x)} 的最大值为
A. \sqrt{6}
B. 2\sqrt{2}
C. 4
D. 8 - 不等式 x^2 - ax + b < 0 的解集是 \{x \mid -1 < x < 3\}，则 bx^2 - ax + 1 > 0 的解集是
A. \{x \mid -3 < x < -1\}
B. \{x \mid -1 < x < \frac{1}{3}\}
C. \{x \mid x < -3 \text{ 或 } x > -1\}
D. \{x \mid x < -1 \text{ 或 } x > \frac{1}{3}\} - 方程 ax^2 - 2ax + 4 = 0 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
A. a < 0
B. a > 4
C. a < -1
D. a < 1 - 已知集合 A = \{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 7\}, B = \{x \mid m + 1 \leqslant x \leqslant 2m - 1\}，若 A \cap B = B，则实数 m 的取值范围是
A. m < 4
B. 2 \leqslant m < 4
C. m \leqslant 4
D. 2 \leqslant m \leqslant 4 - 对 \forall x \in \mathbb{R}，不等式 (a - 2)x^2 + (a - 2)x - 2 < 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是
A. -6 < a \leqslant 2
B. -2 \leqslant a \leqslant 6
C. a < -6 \text{ 或 } a \geqslant 2
D. a \leqslant -2 \text{ 或 } a \geqslant 6 - 《哪吒之魔童闹海》《唐探 1900》《封神第二部：战火西岐》位列 2025 年我国春节档票房前三名。某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《哪吒之魔童闹海》的有 63 人，观看了《唐探 1900》的有 89 人，观看了《封神第二部：战火西岐》的有 47 人，三部电影都观看了的有 24 人，只观看了其中两部电影的有 46 人，这三部电影都未观看的有 15 人，则接受调查的市民共有
A. 100 人
B. 120 人
C. 144 人
D. 178 人 - 设命题 p: 对任意 -1 \leqslant x \leqslant 1，不等式 x^2 - 2x - 5 + m < 0 恒成立；命题 q: 存在 -1 \leqslant x \leqslant 1，使得不等式 2x - 2 \geqslant m^2 - 3m 成立。若 p, q 中至少有一个是假命题，则实数 m 的取值范围为
A. m < 2
B. 0 \leqslant m \leqslant 3
C. 0 \leqslant m < 2
D. m < 0 \text{ 或 } m \geqslant 2 - 已知正实数 a, b 满足 a + b = 2，则 \frac{a^2 + 1}{a} + \frac{b^2}{b + 2} + 4 的最小值为
A. \frac{11}{2}
B. \frac{23}{4}
C. \frac{25}{4}
D. \frac{13}{2}
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
- 已知集合 A = \{x \mid -1 < x < 1\}, B = \{x \mid |x - 1| < 2\}，下列说法正确的是
A. \forall x \in A, x \in B
B. \exists x \in B, x \notin A
C. “x \in A” 是 “x \in B” 的充分不必要条件
D. “x \notin B” 是 “x \notin A” 的必要不充分条件 - 关于 x 的不等式 ax^2 - (a + 1)x + 1 > 0 的解集可能是
A. \mathbb{R}
B. \{x \mid \frac{1}{a} < x < 1\}
C. \{x \mid 1 < x < \frac{1}{a}\}
D. \{x \mid x < 1 \text{ 或 } x > \frac{1}{a}\} - 已知集合 A = \{x \mid x < 1 \text{ 或 } x > 2\}, B = \{x \mid (x - 3)^2 < m\}，下列说法正确的是
A. 若 A \cap B = B，则 m \leqslant 1
B. 若 A \cup B = A，则 m \leqslant 0
C. 若 m < 4，则 A \cap B = \varnothing
D. 若 m > 4，则 A \cup B = \mathbb{R} - 已知正数 x, y 满足 2x + y = xy - 6，下列结论正确的是
A. x > 2
B. y > 2
C. 2x + y 的最小值为 12
D. x + 2y 的最小值为 14
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
- 已知 -2 < x < -1, 2 < y < 3，则 x + 2y 的取值范围为 ______。
- 已知集合 A = \{a^2 + 1, a + 1, 2a - 1\}, B = \{-5, 2a + 3, 3 - a\}，若 A = B，则实数 a = ______。
- 甲、乙、丙三名同学比身高，甲说：“你俩都比我矮”；乙说：“我比丙高”；丙说：“我比你们都矮”。经过测量，三个人身高各不相同且恰有一名同学说错了，那么最矮的同学是 ______。
- 若对任意 -1 \leqslant x \leqslant 3，不等式 |-x^2 + mx + n| \leqslant 2 恒成立，则 m + n = ______。
四、解答题：本题共 2 小题，共 26 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
- (12 分)
已知二次函数 y = x^2 - ax + a - 1 (a \in \mathbb{R})。
(1) 若关于 x 的不等式 x^2 - ax + a - 1 < 0 的解集为 \{x \mid 1 < x < 9\}，求实数 a 的值；
(2) 若对 \forall x \in \mathbb{R}，不等式 x^2 - ax + a - 1 \geqslant 0 恒成立，求不等式 \frac{4}{x - 1} < a 的解集。 - (14 分)
设集合 I = \{0, 1\}, A = \{a_0 + 2a_1 + 2^2 a_2 + 2^3 a_3 + \cdots + 2^8 a_5 \mid a_0, a_1, a_2, \cdots, a_5 \in I\}。
(1) 求集合 A 中元素的最小值和最大值；
(2) 用 \sigma(M) 表示集合 M 中所有元素的和。
( i ) 求 \sigma(A)；
( ii ) 设 B = \{b_1, b_2, b_3, \cdots, b_8\} 是正整数集的一个子集，且 b_1 < b_2 < b_3 < \cdots < b_8。对于任意正整数 n \leqslant 360，都存在 B 的子集 S，使 \sigma(S) = n，求 b_8 的最小值。
浏览(39)